Укажите область определения функции √(x² – 2x – 8) + √x

1. [4; ∞)
2. (−∞; 4] ⋃ (4; ∞)
3. (−∞; 4]
4. (−∞; ∞)

Другие предметы Колледж Область определения функций область определения функции высшая математика колледж Корень квадратный неравенства алгебраические выражения математический анализ функции и их свойства Новый

Чтобы определить область определения функции f(x) = √(x² – 2x – 8) + √x, необходимо рассмотреть каждую из подкоренных частей отдельно.

1. **Первая часть: √(x² – 2x – 8)**

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x² – 2x – 8 ≥ 0.
• Решим неравенство. Сначала найдем корни уравнения x² – 2x – 8 = 0. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
1. x = (2 ± √(2² - 4 * 1 * (-8))) / (2 * 1) = (2 ± √(4 + 32)) / 2 = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.
2. Таким образом, получаем два корня: x₁ = (2 + 6) / 2 = 4 и x₂ = (2 - 6) / 2 = -2.
• Теперь определим знаки выражения x² – 2x – 8 на интервалах, которые образуют корни: (-∞, -2), (-2, 4) и (4, ∞).
• Проверяем знаки:
• Для x < -2 (например, x = -3): (-3)² - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 (положительное).
• Для -2 < x < 4 (например, x = 0): 0² - 2*0 - 8 = -8 (отрицательное).
• Для x > 4 (например, x = 5): 5² - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 (положительное).
• Таким образом, x² – 2x – 8 ≥ 0 на интервалах: (-∞, -2] и [4, ∞).

2. **Вторая часть: √x**

• Подкоренное выражение также должно быть неотрицательным: x ≥ 0.

3. **Объединение условий**

• Теперь объединим условия из обеих частей. У нас есть:
• x ∈ (-∞, -2] для первой части и x ≥ 0 для второй части.
• Таким образом, область определения функции будет пересечением этих условий.
• Область определения: x ∈ [4, ∞).

Итак, окончательный ответ: область определения функции f(x) = √(x² – 2x – 8) + √x — это [4; ∞).