Векторная функция скалярного аргумента: R → R³ и её производная. Касательная к пространственной кривой. Теорема о производной вектор- функции постоянной длины.

Другие предметы Колледж Векторный анализ векторная функция скалярный аргумент производная касательная пространственная кривая теорема о производной функция постоянной длины математический анализ колледж Новый

Векторная функция скалярного аргумента – это функция, которая отображает действительное число (аргумент) в вектор в трехмерном пространстве. Обычно она записывается в виде:

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

где t – скалярный аргумент, а x(t), y(t), z(t) – компоненты вектора, которые могут зависеть от t.

Производная векторной функции

Производная векторной функции r(t) по времени t обозначается r'(t) и вычисляется по компонентам:

r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))

Здесь x'(t), y'(t) и z'(t) – это производные соответствующих компонент по времени t. Производная векторной функции описывает скорость изменения вектора r(t) в пространстве.

Касательная к пространственной кривой

Касательная к пространственной кривой в точке, соответствующей значению аргумента t0, определяется как вектор r'(t0). Этот вектор указывает направление касательной, а его длина показывает скорость изменения положения точки на кривой в данной точке.

Если мы хотим записать уравнение касательной линии в точке t0, то оно будет иметь вид:

r(t) = r(t0) + r'(t0)(t - t0)

где r(t0) – положение точки на кривой в момент времени t0, а r'(t0) – направление касательной.

Теорема о производной вектор-функции постоянной длины

Если векторная функция r(t) имеет постоянную длину, то это означает, что:

||r(t)|| = const

В таком случае производная длины равна нулю:

d/dt ||r(t)|| = 0

Используя правило производной для нормы вектора, мы можем записать:

(r(t) • r'(t)) = 0

Это указывает на то, что производная векторной функции r'(t) всегда перпендикулярна самой функции r(t), что подтверждает, что длина вектора остается постоянной в процессе изменения аргумента t.

Таким образом, векторная функция постоянной длины описывает кривую, которая не изменяет свою длину, и это свойство можно использовать для анализа движения вдоль таких кривых.