Верно ли, что общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения?

• да
• нет

Другие предметы Колледж Неоднородные линейные уравнения общее решение неоднородное линейное уравнение частное решение однородное уравнение математика колледж Новый

Да, это верное утверждение. Давайте разберемся, почему это так.

Когда мы говорим об неоднородном линейном уравнении, мы имеем в виду уравнение, которое можно записать в следующем виде:

Ax = b,

где A - матрица коэффициентов, x - вектор переменных, а b - вектор свободных членов.

Общее решение этого уравнения можно представить как сумму двух компонентов:

1. Частное решение неоднородного уравнения (обозначим его x_p), которое удовлетворяет уравнению Ax = b.
2. Общее решение соответствующего однородного уравнения (обозначим его x_h), которое имеет вид Ax = 0.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения можно записать как:

x = x_p + x_h.

Теперь давайте объясним, почему это работает:

• Частное решение x_p дает нам конкретное решение для данной системы, учитывая свободные члены.
• Общее решение однородного уравнения x_h описывает все возможные решения для системы без учета свободных членов.
• Сложив эти два решения, мы получаем все возможные решения для неоднородного уравнения, так как любое решение будет состоять из конкретного решения и некоторого "свободного" решения, которое зависит от начальных условий.

Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения действительно равно сумме частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.