Вычислить циркуляцию векторного поля а =(х - у2) i +2ху ј по контуру L: y =x;y=x2,
применяя формулу Грина

• 3/7
• 0
• 2/23
• 4/15

Другие предметы Колледж Формула Грина математический анализ циркуляция векторного поля Формула Грина контур L колледж вычисление циркуляции векторное поле задачи по математическому анализу Новый

Для вычисления циркуляции векторного поля a = (x - y^2)i + 2xyj по контуру L, который определяется уравнениями y = x и y = x^2, мы воспользуемся формулой Грина. Формула Грина связывает циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

Сначала определим границы области, ограниченной контуром L. Мы видим, что:

• Прямая y = x пересекает параболу y = x^2 в точках (0, 0) и (1, 1).
• Следовательно, область, ограниченная этими кривыми, располагается между x = 0 и x = 1.

Теперь применим формулу Грина:

Циркуляция = ∮L (P dy - Q dx) = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA,

где P = x - y^2 и Q = 2xy.

Находим частные производные:

• ∂Q/∂x = ∂(2xy)/∂x = 2y
• ∂P/∂y = ∂(x - y^2)/∂y = -2y

Теперь подставим эти производные в формулу:

∂Q/∂x - ∂P/∂y = 2y - (-2y) = 2y + 2y = 4y.

Теперь необходимо вычислить двойной интеграл:

∬D 4y dA.

Поскольку наша область D ограничена кривыми y = x и y = x^2, мы можем выразить интеграл следующим образом:

∫(от 0 до 1) ∫(от x^2 до x) 4y dy dx.

Сначала вычислим внутренний интеграл:

∫(от x^2 до x) 4y dy = 4 * [y^2/2] (от x^2 до x) = 2 * [x^2 - (x^2)^2] = 2[x^2 - x^4].

Теперь подставим это в внешний интеграл:

∫(от 0 до 1) 2(x^2 - x^4) dx = 2 * [x^3/3 - x^5/5] (от 0 до 1) = 2 * [(1/3 - 1/5) - (0)] = 2 * (5/15 - 3/15) = 2 * (2/15) = 4/15.

Таким образом, циркуляция векторного поля a по контуру L равна 4/15.