Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

Другие предметы Колледж Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры графики функций математический анализ колледж вычисление площади ограниченные графики интегралы области в математике Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим общий процесс на примере двух функций, скажем, f(x) и g(x), которые пересекаются на интервале [a, b].

1. Определение функций: Сначала необходимо четко определить функции f(x) и g(x), которые будут ограничивать фигуру. Например, пусть f(x) = x^2 и g(x) = x + 2.
2. Нахождение точек пересечения: Следующим шагом мы должны найти точки пересечения графиков функций, решив уравнение f(x) = g(x). Это даст нам значения x, где функции пересекаются. Например, решим уравнение x^2 = x + 2.
3. Решение уравнения: Перепишем уравнение в стандартной форме: x^2 - x - 2 = 0. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.
   • Корни уравнения: x1 = (1 + sqrt(9)) / 2 = 2, x2 = (1 - sqrt(9)) / 2 = -1.
4. Определение интервала: Теперь у нас есть точки пересечения x = -1 и x = 2. Следовательно, наш интервал [a, b] = [-1, 2].
5. Вычисление площади: Площадь фигуры, ограниченной графиками, можно найти, вычислив интеграл разности функций на данном интервале:

   Площадь = ∫[a, b] (g(x) - f(x)) dx, где g(x) - верхняя функция, а f(x) - нижняя.

   В нашем случае, g(x) = x + 2, а f(x) = x^2, поэтому:

   Площадь = ∫[-1, 2] ((x + 2) - (x^2)) dx.

6. Вычисление интеграла: Теперь мы можем вычислить интеграл:
   • ∫[-1, 2] (x + 2 - x^2) dx = ∫[-1, 2] (-x^2 + x + 2) dx.
   • Находим первообразную: F(x) = -1/3 * x^3 + 1/2 * x^2 + 2x.
   • Теперь подставим пределы интегрирования:
   • F(2) = -1/3 * (2^3) + 1/2 * (2^2) + 2 * 2 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6/3 = -2/3.
   • F(-1) = -1/3 * (-1^3) + 1/2 * (-1^2) + 2 * (-1) = 1/3 + 1/2 - 2 = 1/3 + 3/6 - 12/6 = 1/3 - 9/6 = -7/6.
7. Вычисление площади: Теперь мы можем найти площадь:

   Площадь = F(2) - F(-1) = (-2/3) - (-7/6) = -2/3 + 7/6 = -4/6 + 7/6 = 3/6 = 1/2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x), равна 1/2.