Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: x=4; y=x; xy=4
Другие предметы Колледж Определенный интеграл и площади фигур математический анализ колледж вычислить площадь фигура кривые x=4 y=x xy=4 интегралы графики пределы задачи по математическому анализу
Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными кривыми, давайте сначала разберем каждую из них:
Теперь найдем точки пересечения этих кривых:
Теперь определим границы интегрирования и вычислим площадь. Площадь фигуры ограничена кривыми x = 4, y = x и y = 4/x между точками (2, 2) и (4, 1).
Вычислим площадь между кривыми y = x и y = 4/x от x = 2 до x = 4:
Интеграл разности функций:
Интеграл от 2 до 4: ∫(x - 4/x) dx.
Рассчитаем интеграл:
Теперь подставим пределы интегрирования:
[x^2/2 - 4ln|x|] от 2 до 4:
Подставляем верхний предел (x = 4):
Подставляем нижний предел (x = 2):
Вычисляем разность:
(8 - 4ln(4)) - (2 - 4ln(2)) = 6 - 4ln(4) + 4ln(2)
Преобразуем логарифмы:
ln(4) = ln(2^2) = 2ln(2)
Таким образом, 6 - 4ln(4) + 4ln(2) = 6 - 4(2ln(2)) + 4ln(2) = 6 - 8ln(2) + 4ln(2) = 6 - 4ln(2)
Итак, площадь фигуры равна 6 - 4ln(2).