Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (1 – cos4x) / (1 – cos6x), при x ⟶ 0

1. 4/9
2. 1/9
3. 2/3
4. 1

Другие предметы Колледж Пределы и правила их вычисления предел по правилу Лопиталя высшая математика колледж вычисление пределов пределы функции предел при x к 0 cos4x cos6x математический анализ учебные материалы колледж задачи по высшей математике Новый

Чтобы вычислить предел lim (1 - cos(4x)) / (1 - cos(6x)) при x → 0, мы сначала проверим, что происходит с числителем и знаменателем, когда x

Когда x = 0, мы имеем:

• cos(4 * 0) = cos(0) = 1, следовательно, 1 - cos(4x) → 1 - 1 = 0;
• cos(6 * 0) = cos(0) = 1, следовательно, 1 - cos(6x) → 1 - 1 = 0.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0, что позволяет нам применить правило Лопиталя.

Согласно правилу Лопиталя, мы можем взять производные числителя и знаменателя:

1. Производная числителя (1 - cos(4x)):
• Производная функции cos(4x) равна -4sin(4x), следовательно:
• Производная числителя = 0 + 4sin(4x) = 4sin(4x).
2. Производная знаменателя (1 - cos(6x)):
• Производная функции cos(6x) равна -6sin(6x), следовательно:
• Производная знаменателя = 0 + 6sin(6x) = 6sin(6x).

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (4sin(4x)) / (6sin(6x)) при x → 0.

Теперь подставим x = 0:

• sin(4 * 0) = sin(0) = 0;
• sin(6 * 0) = sin(0) = 0.

У нас снова неопределенность вида 0/0, поэтому мы можем снова применить правило Лопиталя.

1. Производная числителя (4sin(4x)):
• Производная = 4 * 4cos(4x) = 16cos(4x).
2. Производная знаменателя (6sin(6x)):
• Производная = 6 * 6cos(6x) = 36cos(6x).

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (16cos(4x)) / (36cos(6x)) при x → 0.

Подставляем x = 0:

• cos(4 * 0) = cos(0) = 1;
• cos(6 * 0) = cos(0) = 1.

Теперь предел становится:

lim (16 1) / (36 1) = 16 / 36 = 4 / 9.

Таким образом, ответ на задачу:

Ответ: 4/9.