Вычислите предел по правилу Лопиталя lim lnx / ctgx, x⟶0

• 7
• 2
• 1
• 0

Другие предметы Колледж Пределы и правила их вычисления предел по правилу Лопиталя вычисление предела высшая математика колледж предел функции ln x ctg x математика для колледжа предел при x стремящемся правила Лопиталя Новый

Для вычисления предела lim (lnx / ctgx) при x → 0, мы сначала определим, что происходит с числителем и знаменателем при подходе x к 0.

• Числитель: ln(x) стремится к -∞, когда x стремится к 0 с положительной стороны.
• Знаменатель: ctg(x) = cos(x) / sin(x) стремится к ∞, так как sin(x) стремится к 0, а cos(x) стремится к 1.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида -∞ / ∞. В таких случаях мы можем применить правило Лопиталя, которое гласит, что если предел имеет форму 0/0 или ∞/∞, то мы можем взять производные числителя и знаменателя.

Теперь применим правило Лопиталя:

1. Находим производную числителя: производная ln(x) равна 1/x.
2. Находим производную знаменателя: производная ctg(x) равна -csc^2(x).

Теперь можем записать новый предел:

lim (lnx / ctgx) = lim (1/x) / (-csc^2(x)) = lim (-1/x) * sin^2(x).

Теперь мы исследуем предел при x → 0:

• sin(x) стремится к 0, и следовательно, sin^2(x) стремится к 0.
• 1/x стремится к ∞, когда x стремится к 0 с положительной стороны.

Таким образом, мы снова имеем неопределенность вида ∞ * 0. Чтобы решить эту неопределенность, мы можем переписать предел:

lim (-sin^2(x) / x) при x → 0.

Теперь снова применяем правило Лопиталя:

1. Находим производную числителя: производная -sin^2(x) равна -2sin(x)cos(x).
2. Находим производную знаменателя: производная x равна 1.

Теперь применяем предел:

lim (-2sin(x)cos(x)) = -2 * sin(0) * cos(0) = -2 * 0 * 1 = 0.

Таким образом, предел lim (lnx / ctgx) при x → 0 равен 0.

Ответ: 0.