Для вычисления предела lim (cos(7x) - 1) / (cos(3x) - 1) при x → 0, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, так как при подстановке x = 0 в числителе и знаменателе мы получаем неопределенность вида 0/0.

Шаги решения:

1. Проверка предела: Подставляем x = 0:
   • cos(7*0) - 1 = cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0
   • cos(3*0) - 1 = cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0

   Мы получаем 0/0, что позволяет применить правило Лопиталя.

2. Применение правила Лопиталя: Находим производные числителя и знаменателя.
   • Производная числителя: d(cos(7x) - 1)/dx = -7sin(7x)
   • Производная знаменателя: d(cos(3x) - 1)/dx = -3sin(3x)
3. Применение правила Лопиталя: Теперь вычисляем новый предел:

   lim (cos(7x) - 1) / (cos(3x) - 1) = lim (-7sin(7x)) / (-3sin(3x)) = lim (7sin(7x)) / (3sin(3x)) при x → 0.

4. Подстановка x = 0:
   • sin(7*0) = sin(0) = 0
   • sin(3*0) = sin(0) = 0

   Снова получаем неопределенность 0/0, применяем правило Лопиталя еще раз.

5. Второе применение правила Лопиталя:
   • Производная числителя: d(7sin(7x))/dx = 49cos(7x)
   • Производная знаменателя: d(3sin(3x))/dx = 9cos(3x)

   Теперь предел будет выглядеть так: lim (49cos(7x)) / (9cos(3x)) при x → 0.

6. Подстановка x = 0:
   • cos(7*0) = cos(0) = 1
   • cos(3*0) = cos(0) = 1

   Теперь предел равен: lim (49 * 1) / (9 * 1) = 49 / 9.

Таким образом, предел lim (cos(7x) - 1) / (cos(3x) - 1) при x → 0 равен 49 / 9.