Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (x - arctgx) / x², x -> 0

Другие предметы Колледж Пределы и правило Лопиталя предел правило Лопиталя математический анализ колледж арктангенс предел функции вычисление пределов Новый

Для вычисления предела lim (x - arctgx) / x² при x стремящемся к 0, мы сначала подставим x = 0 в выражение. Получим:

0 - arctg(0) = 0 - 0 = 0

И в знаменателе x²: 0² = 0.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0. В таких случаях мы можем применить правило Лопиталя, которое гласит, что если предел имеет форму 0/0 или ∞/∞, то:

• Мы можем взять производные числителя и знаменателя.
• Затем повторно вычислить предел.

Теперь найдем производные числителя и знаменателя:

1. Числитель: x - arctgx
• Производная от x равна 1.
• Производная от arctgx равна 1/(1 + x²).
2. Таким образом, производная числителя будет равна:

1 - 1/(1 + x²)

Теперь найдем производную знаменателя:

1. Знаменатель: x²
2. Производная от x² равна 2x.

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (1 - 1/(1 + x²)) / (2x) при x стремящемся к 0.

Подставляем x = 0:

1 - 1/(1 + 0²) = 1 - 1 = 0,

и в знаменателе 2 * 0 = 0.

Мы снова имеем неопределенность 0/0, поэтому снова применим правило Лопиталя.

1. Находим производные числителя и знаменателя еще раз:
2. Числитель: 1 - 1/(1 + x²)
• Производная от 1 равна 0.
• Производная от -1/(1 + x²) равна 2x/(1 + x²)².
3. Таким образом, производная числителя будет равна:

0 - 2x/(1 + x²)² = -2x/(1 + x²)².

Теперь производная знаменателя:

1. Знаменатель: 2x
2. Производная от 2x равна 2.

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (-2x/(1 + x²)²) / 2 при x стремящемся к 0.

Упрощаем это выражение:

lim (-x/(1 + x²)²) при x стремящемся к 0.

Теперь подставим x = 0:

-0/(1 + 0²)² = 0.

Таким образом, предел равен 0.

Ответ: Предел равен 0.