Похожие вопросы
2025-09-04 17:33:13
Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² – 8) / (x² – 9), при x ⟶ 3
- 1
- 8/9
- 0
- ∞
Другие предметы Колледж Пределы и правило Лопиталя предел по правилу Лопиталя высшая математика колледж вычисление предела ln(x² – 8) предел при x ⟶ 3 предел функции математика колледж
2025-09-04 17:33:36
Чтобы вычислить предел lim ln(x² – 8) / (x² – 9) при x → 3, мы сначала подставим значение x = 3 в выражение.
Подставляем:
- ln(3² – 8) = ln(9 – 8) = ln(1) = 0;
- 3² – 9 = 9 – 9 = 0.
Таким образом, мы получаем неопределенность вида 0/0. В таких случаях мы можем применить правило Лопиталя. Это правило гласит, что если предел функции представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то:
lim (f(x) / g(x)) = lim (f'(x) / g'(x)), если предел правой части существует.
Теперь найдем производные числителя и знаменателя:
- Числитель: f(x) = ln(x² – 8). Найдем его производную:
- f'(x) = (1 / (x² – 8)) * (2x) = 2x / (x² – 8).
- Знаменатель: g(x) = x² – 9. Найдем его производную:
- g'(x) = 2x.
Теперь применим правило Лопиталя:
lim ln(x² – 8) / (x² – 9) = lim (2x / (x² – 8)) / (2x) = lim (2x / (x² – 8)) * (1 / (2x)) = lim 1 / (x² – 8).
Теперь подставим x = 3:
- lim 1 / (3² – 8) = 1 / (9 – 8) = 1 / 1 = 1.
Таким образом, предел lim ln(x² – 8) / (x² – 9) при x → 3 равен 1.
Ответ: 1.