Вывести формулу для расстояния от точки M до плоскости, заданной общим уравнением

Другие предметы Колледж Расстояние от точки до плоскости расстояние от точки до плоскости линейная алгебра аналитическая геометрия общее уравнение плоскости формула расстояния колледж задачи по линейной алгебре Новый

Чтобы вывести формулу для расстояния от точки M до плоскости, заданной общим уравнением, давайте рассмотрим несколько шагов.

Плоскость в пространстве может быть задана уравнением вида:

A*x + B*y + C*z + D = 0

где A, B, C и D - это коэффициенты, определяющие плоскость, а x, y и z - координаты точек в пространстве.

Пусть точка M имеет координаты (x0, y0, z0). Нам нужно найти расстояние от этой точки до заданной плоскости.

Расстояние от точки до плоскости можно найти по следующей формуле:

d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Теперь давайте разберем, как эта формула была получена:

1. Подставление координат точки: Мы подставляем координаты точки M (x0, y0, z0) в уравнение плоскости. Это дает нам значение выражения A*x0 + B*y0 + C*z0 + D.
2. Модуль значения: Поскольку расстояние всегда является неотрицательным, мы берем модуль этого выражения. Это позволяет нам игнорировать знак, который может быть у результата.
3. Нормализация: Для получения расстояния мы делим на длину нормального вектора плоскости, который определяется как (A, B, C). Длина нормального вектора вычисляется как sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Таким образом, итоговая формула для расстояния от точки M до плоскости выглядит следующим образом:

d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Эта формула позволяет быстро находить расстояние от любой точки до плоскости, заданной общим уравнением. Надеюсь, это объяснение было полезным!