Вывести формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе

Другие предметы Колледж Смешанное произведение векторов смешанное произведение векторы формула линейная алгебра ортонормированный базис аналитическая геометрия колледж Новый

Смешанное произведение трех векторов в трехмерном пространстве можно выразить через определитель матрицы, составленной из этих векторов. Давайте рассмотрим три вектора A, B и C, заданные в правом ортонормированном базисе. Пусть:

• A = (a1, a2, a3)
• B = (b1, b2, b3)
• C = (c1, c2, c3)

Смешанное произведение трех векторов A, B и C обозначается как [A, B, C] и вычисляется следующим образом:

1. Составим матрицу из координат векторов A, B и C:
• Матрица M = | a1 a2 a3 |
• | b1 b2 b3 |
• | c1 c2 c3 |
2. Теперь найдем определитель этой матрицы, который и будет равен смешанному произведению:
• [A, B, C] = det(M)

Определитель трехмерной матрицы можно вычислить по формуле:

det(M) = a1*(b2*c3 - b3*c2) - a2*(b1*c3 - b3*c1) + a3*(b1*c2 - b2*c1)

Таким образом, смешанное произведение трех векторов A, B и C в правом ортонормированном базисе можно выразить через координаты этих векторов следующим образом:

[A, B, C] = a1*(b2*c3 - b3*c2) - a2*(b1*c3 - b3*c1) + a3*(b1*c2 - b2*c1)

Это значение будет равно объему параллелепипеда, построенного на векторах A, B и C. Если смешанное произведение равно нулю, это значит, что векторы A, B и C лежат в одной плоскости.