Числа Стирлинга второго рода, обозначаемые S(n, k),представляют собой количество способов разделить n объектов на k непустых групп. Формулы, которые вы привели, содержат различные выражения, и нам нужно определить, какая из них является правильной формулой для чисел Стирлинга второго рода.

Давайте рассмотрим каждую из предложенных формул:

• Первая формула: S(n,k) = 1/k! ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j)
• Вторая формула: S(n,k) = 1/k! ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j) j^n
• Третья формула: S(n,k) = ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j) j^n

Теперь разберём каждую из них подробнее:

1. Первая формула не является корректной формулой для чисел Стирлинга второго рода. Она не включает n и не соответствует известным свойствам чисел Стирлинга.
2. Вторая формула является правильной формулой для чисел Стирлинга второго рода. Она описывает S(n, k) как сумму, в которой учитывается количество способов, как n объектов могут быть распределены по k группам, с учетом знаков и комбинаций.
3. Третья формула также не является правильной для чисел Стирлинга второго рода, так как она не включает деление на k! и не соответствует известным свойствам.

Таким образом, правильной формулой числа Стирлинга второго рода является:

S(n,k) = 1/k! ∑_(j=0)^k 〖(-1)〗^(k+j) (k/j) j^n