Дан предел lim ˣ√(1 + 5x), x→0.
Выберите верное рассуждение для решения данного предела.

• lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)ˣ = [1ˣ] = lim (1 + 5x) = e⁰ =1.
• lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)^1/ˣ = [1^∞] = lim (1 + 5x)^(1/5x)⁵ = e⁵.
• lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)^1/ˣ = [1^∞] = lim (1 + 5x)⁰ = 0.

Другие предметы Университет Пределы и непрерывность функций предел математика университет лимит решение предела математический анализ функции числовые пределы пределы в математике высшая математика Новый

Для решения предела lim ˣ√(1 + 5x) при x стремящемся к 0, давайте разберем каждое из предложенных рассуждений и выясним, какое из них является верным.

1. **Первое рассуждение**: lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)ˣ = [1ˣ] = lim (1 + 5x) = e0 = 1.

• Это рассуждение неверно, потому что оно неправильно интерпретирует предел. Мы не можем просто заменить выражение в пределах без учета его поведения при x стремящемся к 0.

2. **Второе рассуждение**: lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)1/ˣ = [1∞] = lim (1 + 5x)^(1/5x)⁵ = e⁵.

• Это рассуждение также неверно. Хотя оно правильно использует форму 1 в бесконечности, вывод значения e⁵ не соответствует действительности. Мы должны учитывать, что 5x стремится к 0, когда x стремится к 0, и это не дает нам e⁵.

3. **Третье рассуждение**: lim ˣ√(1 + 5x) = lim (1 + 5x)1/ˣ = [1∞] = lim (1 + 5x)0 = 0.

• Это рассуждение неверно, потому что оно также неправильно интерпретирует предел. Мы не можем считать, что (1 + 5x)0 равно 0, поскольку это неправильно в контексте предела.

Теперь давайте найдем правильное решение для предела:

1. Мы можем переписать предел как lim (1 + 5x)^(1/x). Это выражение имеет форму 1 в бесконечности, когда x стремится к 0.
2. Используем известный предел: lim (1 + u)^(1/u) = e, когда u стремится к 0. В нашем случае u = 5x, и когда x стремится к 0, u также стремится к 0.
3. Таким образом, мы можем записать: lim (1 + 5x)^(1/x) = e^(5), так как 5x = u.

Итак, правильный ответ для предела lim ˣ√(1 + 5x) при x стремящемся к 0 равен e^5.