Дана функция
y=2(arctgx−9arcctgx)
Найдите y''(x). В ответ введите значение y''(1)

Другие предметы Университет Производные и дифференциальное исчисление математика университет производная функция арктангенс арккотангенс y'' y''(1) задачи по математике высшая математика Новый

Для нахождения второй производной функции y = 2(arctg(x) - 9arcctg(x)), сначала найдем первую производную y'. Затем, на основе y', найдем y''.

Шаг 1: Найдем первую производную y'.

Используем правило производной для арктангенса и арккотангенса:

• Производная arctg(x) равна 1/(1 + x^2).
• Производная arcctg(x) равна -1/(1 + x^2).

Теперь применим эти правила к нашей функции:

1. y' = 2(d/dx(arctg(x)) - 9(d/dx(arcctg(x)))
2. y' = 2(1/(1 + x^2) - 9(-1/(1 + x^2)))
3. y' = 2(1/(1 + x^2) + 9/(1 + x^2))
4. y' = 2(10/(1 + x^2))
5. y' = 20/(1 + x^2).

Шаг 2: Найдем вторую производную y''.

Теперь найдем производную от y'. Используем правило производной для дроби:

• Если u = 20 и v = (1 + x^2), то y' = u/v.
• По правилу производной дроби (u/v)' = (u'v - uv')/v^2.

Где:

• u' = 0 (производная константы 20),
• v = 1 + x^2, v' = 2x.

Теперь подставим это в формулу:

1. y'' = (0 * (1 + x^2) - 20 * 2x) / (1 + x^2)^2
2. y'' = -40x / (1 + x^2)^2.

Шаг 3: Найдем значение y''(1).

Теперь подставим x = 1 в выражение для y''.

1. y''(1) = -40 * 1 / (1 + 1^2)^2
2. y''(1) = -40 / (1 + 1)^2
3. y''(1) = -40 / (2)^2
4. y''(1) = -40 / 4
5. y''(1) = -10.

Ответ: y''(1) = -10.