Даны прямые (x + 2) / 2 = y / −3 = (z − 1) / 4 и (x − 3) / α = (y − 1) / 4 = (z − 7) / 2. При каком значении α они перпендикулярны?

1. α = 2
2. α = 4
3. α = 1
4. α = −2

Другие предметы Университет Геометрия в пространстве высшая математика университет перпендикулярные прямые значение α математические задачи системы уравнений геометрия в пространстве аналитическая геометрия прямые в пространстве математические решения Новый

Для того чтобы определить, при каком значении α данные прямые перпендикулярны, необходимо сначала найти направляющие векторы этих прямых.

Первая прямая задана в параметрической форме:

• (x + 2) / 2 = y / -3 = (z - 1) / 4

Из этого уравнения можно выделить направляющий вектор. Приведем уравнения к стандартному виду:

• x = 2t - 2
• y = -3t
• z = 4t + 1

Таким образом, направляющий вектор первой прямой будет равен:

• v1 = (2, -3, 4)

Теперь рассмотрим вторую прямую:

• (x - 3) / α = (y - 1) / 4 = (z - 7) / 2

Из этого уравнения также выделим направляющий вектор:

• x = αt + 3
• y = 4t + 1
• z = 2t + 7

Здесь направляющий вектор будет:

• v2 = (α, 4, 2)

Теперь, чтобы прямые были перпендикулярны, их направляющие векторы должны удовлетворять условию:

v1 · v2 = 0

Где "·" обозначает скалярное произведение векторов. Вычислим скалярное произведение:

• v1 · v2 = (2, -3, 4) · (α, 4, 2) = 2α - 12 + 8

Упростим это выражение:

• 2α - 12 + 8 = 2α - 4

Теперь приравняем это выражение к нулю:

• 2α - 4 = 0

Решим данное уравнение:

• 2α = 4
• α = 2

Таким образом, прямые будут перпендикулярны при α = 2.