Дать ответ, как ведет себя модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [0,10], если у` = -4y, у(0) = 2.6

• убывает
• возрастает

Другие предметы Университет Модели погрешности в задачах Коши вычислительные методы модуль погрешности задача Коши отрезок [0,10] у' = -4y у(0) = 2.6 поведение погрешности анализ решения Новый

Для анализа поведения модуля погрешности решения задачи Коши для дифференциального уравнения у' = -4y с начальным условием y(0) = 2.6, давайте рассмотрим несколько шагов.

Шаг 1: Общее решение уравнения

Данное уравнение является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем решить его, используя метод разделения переменных:

1. Перепишем уравнение в виде: dy/y = -4 dt.
2. Интегрируем обе стороны: ∫(1/y) dy = ∫-4 dt.
3. Получаем: ln|y| = -4t + C, где C - константа интегрирования.
4. Экспоненцируем обе стороны: |y| = e^(-4t + C) = e^C * e^(-4t).
5. Таким образом, y(t) = A * e^(-4t), где A = e^C - это произвольная константа.

Шаг 2: Применение начального условия

Теперь подставим начальное условие y(0) = 2.6 для нахождения константы A:

1. y(0) = A * e^(0) = A = 2.6.
2. Таким образом, общее решение задачи Коши: y(t) = 2.6 * e^(-4t).

Шаг 3: Анализ поведения решения

Теперь проанализируем, как ведет себя модуль погрешности решения на отрезке [0, 10]. Мы видим, что:

• При t = 0: y(0) = 2.6.
• При увеличении t значение y(t) будет убывать, так как экспоненциальная функция e^(-4t) стремится к нулю при t, стремящемся к бесконечности.
• На отрезке [0, 10] значение y(t) будет уменьшаться от 2.6 до значения, близкого к нулю.

Шаг 4: Вывод о модуле погрешности

Модуль погрешности решения будет зависеть от того, как близко мы находимся к истинному решению на данном отрезке. Поскольку y(t) убывает, можно ожидать, что:

• С увеличением t модуль погрешности будет также убывать, так как мы приближаемся к нулю.
• Таким образом, можно сказать, что модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [0, 10] убывает.

В заключение, мы можем утверждать, что модуль погрешности решения задачи Коши на рассматриваемом отрезке убывает.