Дать ответ, как ведет себя модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [0, 10], если y` = -2y + exp(3x), y(0) = 1.5

• возрастает
• убывает

Другие предметы Университет Модули погрешности в задачах Коши вычислительные методы модуль погрешности задача Коши отрезок [0 10] y' = -2y + exp(3x) y(0) = 1.5 анализ поведения возрастание убывание Новый

Чтобы понять, как ведет себя модуль погрешности решения задачи Коши для данного дифференциального уравнения, рассмотрим несколько шагов.

1. Запись уравнения и начальных условий:

• Уравнение: y' = -2y + exp(3x)
• Начальное условие: y(0) = 1.5

2. Решение уравнения:

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения можно использовать метод интегрирующего множителя. Сначала найдем интегрирующий множитель:

• Интегрирующий множитель μ(x) = exp(∫-2dx) = exp(-2x).

Теперь умножим обе стороны уравнения на этот множитель:

• exp(-2x) * y' + exp(-2x) * (-2y) = exp(-2x) * exp(3x).
• Это упрощается до: (exp(-2x) * y)' = exp(x).

Теперь интегрируем обе стороны:

• exp(-2x) * y = ∫exp(x)dx = exp(x) + C.

После этого выразим y:

• y = exp(2x) * (exp(x) + C) = exp(3x) + C * exp(2x).

Теперь применим начальное условие y(0) = 1.5 для нахождения постоянной C:

• 1.5 = exp(0) * (exp(0) + C) = 1 + C.
• Следовательно, C = 0.5.

Таким образом, общее решение имеет вид:

• y(x) = exp(3x) + 0.5 * exp(2x).

3. Анализ поведения решения:

Теперь проанализируем, как ведет себя модуль погрешности решения на отрезке [0, 10]. Обратите внимание на экспоненциальные функции в решении:

• exp(3x) и exp(2x) обе возрастают с увеличением x.
• Это означает, что y(x) также будет возрастать на всем отрезке [0, 10].

4. Модуль погрешности:

Модуль погрешности будет зависеть от точности численного метода, который вы используете для решения задачи. Если метод имеет фиксированную погрешность, то с увеличением x погрешность может расти, так как экспоненциальные функции быстро увеличиваются.

Вывод:

Таким образом, модуль погрешности решения задачи Коши для данного уравнения будет возрастать на отрезке [0, 10]. Это связано с тем, что решение содержит экспоненциальные функции, которые ведут себя аналогичным образом.