Дать ответ, как ведет себя модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [О, 10], если у' = 4х - у, у(О) = 0.5

• убывает
• возрастает

Другие предметы Университет Модули погрешности в задачах Коши вычислительные методы модуль погрешности задача Коши отрезок [0 10] у' = 4x - у у(0) = 0.5 поведение погрешности Новый

Для анализа поведения модуля погрешности решения задачи Коши на отрезке [0, 10] рассмотрим следующее:

Задача Коши состоит из дифференциального уравнения:

у' = 4х - у

с начальным условием:

у(0) = 0.5

Первым шагом будет определение решения данного уравнения. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя или метод разделения переменных. Здесь я опишу метод интегрирующего множителя:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме:

у' + у = 4х

2. Найдем интегрирующий множитель:

Интегрирующий множитель μ(x) равен exp(∫1 dx) = exp(x).

3. Умножим все уравнение на интегрирующий множитель:

exp(x) * у' + exp(x) * у = 4х * exp(x).

4. Теперь левая часть уравнения является производной:

(exp(x) * у)' = 4х * exp(x).

5. Интегрируем обе стороны:

exp(x) * у = ∫4х * exp(x) dx.

6. Решим интеграл, используя интегрирование по частям:

∫4х * exp(x) dx = 4х * exp(x) - ∫4 * exp(x) dx = 4х * exp(x) - 4exp(x) + C.

7. Таким образом, получаем:

exp(x) * у = 4х * exp(x) - 4exp(x) + C.

8. Теперь делим на exp(x):

у = 4х - 4 + Ce^(-x).

9. Подставим начальное условие у(0) = 0.5:

0.5 = 4*0 - 4 + C ⇒ C = 4.5.

10. Итак, окончательное решение:

у(x) = 4х - 4 + 4.5e^(-x).

Теперь, чтобы проанализировать, как ведет себя модуль погрешности на отрезке [0, 10], нужно рассмотреть поведение функции у(x) и ее производной у'(x).

• При x=0: у(0) = 0.5, у'(0) = 4*0 - 0.5 = -0.5. Это означает, что в начале отрезка функция у(x) убывает.
• При x=10: у(10) = 40 - 4 + 4.5e^(-10). Здесь e^(-10) очень маленькое, поэтому у(10) ≈ 36. Это значение значительно больше, чем у(0).
• Производная у'(x) = 4 - у(x). Если у(x) < 4, то у' > 0, а если у(x) > 4, то у' < 0. Таким образом, у(x) будет расти, пока не достигнет 4, а затем начнет убывать.

Следовательно, на отрезке [0, 10] мы можем заключить следующее:

• В начале отрезка (x=0) модуль погрешности будет увеличиваться, так как у(x) убывает.
• Затем, когда у(x) начнет возрастать и достигнет значения, близкого к 4, модуль погрешности будет уменьшаться.
• Таким образом, модуль погрешности сначала убывает, а затем возрастает.

В заключение, можно сказать, что модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [0, 10] сначала убывает, а затем возрастает.