Датчик случайных чисел выдал два числа в интервале [0; 1] . С какой вероятностью произведение этих чисел меньше 0.25?

Другие предметы Университет Случайные величины и их распределения вероятность произведение чисел интервал [0; 1] теория вероятностей математическая статистика случайные числа задача на вероятность Новый

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрический подход. Рассмотрим два случайных числа x и y, которые равномерно распределены на отрезке [0; 1]. Мы хотим найти вероятность того, что произведение этих чисел, то есть xy, меньше 0.25.

Шаги решения:

1. Определим область, где xy < 0.25: Мы ищем все точки (x, y) в квадрате, ограниченном координатами (0, 0), (1, 0), (1, 1) и (0, 1), которые удовлетворяют условию xy < 0.25. Это означает, что мы ищем область под кривой y = 0.25/x.
2. Построим график: График функции y = 0.25/x будет гиперболой. Мы ищем ту часть этой гиперболы, которая лежит в пределах нашего квадрата [0; 1] x [0; 1]. Для этого найдем, при каких значениях x функция y = 0.25/x будет находиться в пределах от 0 до 1.
3. Найдём границы: Решим неравенство 0 < 0.25/x < 1. Это приводит к следующим условиям:
   • 0.25/x < 1 => x < 0.25
   • 0.25/x > 0 => x > 0
   Таким образом, x должен находиться в интервале (0, 0.25).
4. Найдём область под кривой: Теперь мы можем найти область, где xy < 0.25. Для x в интервале (0, 0.25) значение y будет находиться в пределах от 0 до 0.25/x. Но поскольку y не может превышать 1, мы ограничиваем y значением 1. Таким образом, для x в интервале (0, 0.25) y будет ограничено от 0 до min(1, 0.25/x).
5. Вычислим площадь: Площадь области, где xy < 0.25, можно найти интегрированием:
   • Для x от 0 до 0.25, y = 0.25/x, но y также ограничено 1.
   • Мы можем интегрировать от 0 до 0.25: интеграл от 0 до 0.25 (0.25/x) dx.
   Однако, так как y не может превышать 1, мы можем рассмотреть область, ограниченную y = 1 и y = 0.25/x.
6. Вычисление: Площадь под кривой y = 0.25/x от 0 до 0.25:
   • Интеграл от 0 до 0.25 (0.25/x) dx = 0.25 * ln(0.25) - 0.25 * ln(0) = бесконечность (не подходит).
   • Таким образом, мы можем использовать прямоугольник 0.25 * 0.25 = 0.0625.
7. Итоговая вероятность: Площадь всего квадрата [0; 1] x [0; 1] равна 1. Площадь области, где xy < 0.25, равна 0.0625. Следовательно, вероятность будет равна: P(xy < 0.25) = Площадь области / Площадь квадрата = 0.0625 / 1 = 0.0625.

Таким образом, вероятность того, что произведение двух случайных чисел из интервала [0; 1] будет меньше 0.25, равна 0.0625 или 6.25%.