Давайте рассмотрим, что такое выпуклость графика функции и как мы можем это доказать. Выпуклость графика функции f(x) на интервале означает, что для любых двух точек на графике функции, отрезок, соединяющий эти две точки, не будет находиться ниже графика. Это можно формально выразить через вторую производную функции.

Достаточное условие выпуклости: Функция f(x) является выпуклой на интервале, если вторая производная f''(x) неотрицательна на этом интервале.

Теперь давайте подробно разберем, как это доказать:

1. Определение второй производной: Вторая производная функции f(x) - это производная от первой производной f'(x). Если f'(x) является возрастающей на интервале, это означает, что f''(x) ≥ 0.
2. Интерпретация второй производной: Если f''(x) > 0 на интервале, это говорит о том, что наклон касательной к графику функции увеличивается, что указывает на выпуклость. Если f''(x) = 0, это может указывать на точку перегиба, но не исключает возможность выпуклости.
3. Геометрический смысл: Если f''(x) ≥ 0, это означает, что касательные к графику функции находятся ниже самого графика, что соответствует определению выпуклости. Таким образом, для любых двух точек (x1, f(x1)) и (x2, f(x2)) на графике, отрезок, соединяющий их, будет находиться выше или на уровне графика.
4. Пример: Рассмотрим функцию f(x) = x^2. Найдем её первую производную: f'(x) = 2x. Теперь найдем вторую производную: f''(x) = 2. Поскольку f''(x) = 2 > 0 для всех x, то график функции f(x) = x^2 является выпуклым на всей числовой оси.

Таким образом, мы доказали, что если вторая производная функции неотрицательна на некотором интервале, то график этой функции является выпуклым на этом интервале. Это и есть достаточное условие выпуклости графика функции.