Кривая y = f(x) называется выпуклой на интервале (a, b), если она удовлетворяет определённым условиям, которые можно объяснить следующим образом:

1. Для любого отрезка, соединяющего две точки на графике функции в пределах интервала (a, b), этот отрезок будет находиться выше графика функции.
2. Математически это можно выразить с помощью второй производной функции. Если вторая производная f''(x) больше или равна нулю для всех x в интервале (a, b), то функция выпуклая на этом интервале.

Давайте разберём эти условия подробнее:

• Геометрическая интерпретация: Представьте себе график функции. Если кривая выпуклая, то это значит, что она "смотрит" вверх, и если вы нарисуете любую прямую линию между двумя точками на графике, эта линия будет выше или совпадать с графиком функции. Это свойство часто описывают как "чашеобразную" форму.
• Аналитический подход: Вторая производная функции f''(x) является инструментом, который позволяет определить, как изменяется наклон касательной к графику функции. Если f''(x) ≥ 0 для всех x в интервале (a, b), это говорит о том, что касательная не убывает, а значит, функция не "опускается" вниз, что соответствует выпуклости.

Таким образом, выпуклость функции на интервале означает, что график не имеет локальных "впадин" и в целом "смотрит" вверх в пределах этого интервала.