Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов. Три вектора линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны (геометрический критерий).

Другие предметы Университет Линейная зависимость векторов линейная алгебра аналитическая геометрия геометрический критерий линейная зависимость компланарные векторы доказательство векторов векторы в пространстве условия линейной зависимости Новый

Давайте рассмотрим, что такое линейная зависимость векторов и компланарность. Линейная зависимость означает, что один из векторов может быть выражен через линейные комбинации других векторов. Компланарность векторов означает, что они лежат в одной плоскости.

Теперь докажем, что три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Шаг 1: Определение линейной зависимости

• Пусть у нас есть три вектора A, B и C в пространстве.
• Вектора A, B и C линейно зависимы, если существуют такие скаляры k1, k2 и k3, не все равные нулю, такие что:
• k1 * A + k2 * B + k3 * C = 0.

Шаг 2: Определение компланарности

• Векторы A, B и C компланарны, если существует плоскость, в которой они все лежат.
• Это означает, что один из векторов может быть представлен как линейная комбинация двух других векторов.

Шаг 3: Доказательство необходимости

• Предположим, что векторы A, B и C линейно зависимы.
• Это означает, что один из векторов, скажем C, может быть представлен как линейная комбинация A и B:
• C = k1 * A + k2 * B, где k1 и k2 - некоторые скаляры.
• Таким образом, векторы A, B и C лежат в одной плоскости, что означает, что они компланарны.

Шаг 4: Доказательство достаточности

• Теперь предположим, что векторы A, B и C компланарны.
• Это означает, что один из векторов, например C, может быть представлен как линейная комбинация A и B:
• C = k1 * A + k2 * B.
• Таким образом, мы можем записать:
• 0 = A * (k1) + B * (k2) + C * (-1),
• где k1 и k2 - некоторые скаляры. Здесь не все коэффициенты равны нулю, так как C не является нулевым вектором.
• Следовательно, векторы A, B и C линейно зависимы.

Таким образом, мы доказали, что три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Это и есть геометрический критерий линейной зависимости для трех векторов.