Сформулировать геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов

Другие предметы Университет Линейная зависимость векторов геометрические критерии линейная зависимость векторы 2 вектора 3 вектора линейная алгебра аналитическая геометрия университет Новый

Геометрические критерии линейной зависимости векторов помогают понять, когда векторы можно выразить через линейные комбинации друг друга. Рассмотрим случаи для 2-х и 3-х векторов.

1. Линейная зависимость двух векторов:

Два вектора A и B в пространстве являются линейно зависимыми, если они лежат на одной прямой. Это означает, что один вектор можно выразить как скалярное произведение другого вектора. Формально это можно записать так:

• Существует такое число k, что A = k * B.

Геометрически это означает, что векторы A и B направлены в одну сторону или в противоположные стороны.

2. Линейная зависимость трех векторов:

Три вектора A, B и C в пространстве являются линейно зависимыми, если они лежат в одной плоскости или если один из векторов можно выразить через линейные комбинации двух других. Это можно выразить так:

• Существует такие числа k1 и k2, что C = k1 * A + k2 * B.

Геометрически это означает, что векторы A, B и C либо лежат в одной плоскости, либо один из них является линейной комбинацией двух других. Если же три вектора не лежат в одной плоскости, то они являются линейно независимыми.

Таким образом, для проверки линейной зависимости векторов нужно анализировать их расположение в пространстве:

• Для двух векторов: проверьте, лежат ли они на одной прямой.
• Для трех векторов: проверьте, лежат ли они в одной плоскости.