Для того чтобы понять, какие условия необходимы для существования производной функции в точке, давайте рассмотрим каждое из предложенных условий.

• Существование хотя бы одной односторонней производной:

Это условие не является достаточным для существования производной. Например, если у нас есть функция, которая имеет правую производную в точке, но не имеет левой, то производная в этой точке не существует. Поэтому это условие не подходит.

• Существование двух односторонних производных:

Если функция имеет обе односторонние производные (левую и правую) в точке, это уже более близко к достаточному условию. Однако, это условие само по себе недостаточно, так как не гарантирует, что эти производные равны. Например, функция может иметь правую производную, равную 2, и левую производную, равную 3, в одной и той же точке, но производная в этой точке не будет существовать.

• Существование и равенство двух односторонних производных:

Это условие является достаточным для существования производной. Если в точке x0 существуют обе односторонние производные (левая и правая) и они равны, то производная функции в этой точке существует и равна этому значению. То есть, если lim (h→0-) f'(x0 + h) = lim (h→0+) f'(x0 + h),то производная f'(x0) существует и равна этому общему значению.

Таким образом, правильный ответ: Существование и равенство двух односторонних производных является достаточным условием для существования производной функции в данной точке.