Эллипс - это кривая, которая представляет собой множество точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Давайте выведем уравнение эллипса с фокусами, расположенными на оси X.

Предположим, что фокусы находятся в точках F1(-c, 0) и F2(c, 0), где c - расстояние от центра эллипса до фокусов. Центр эллипса будет находиться в точке O(0, 0).

Обозначим расстояние от любой точки P(x, y) на эллипсе до фокусов F1 и F2:

• d1 = расстояние от P до F1 = √((x + c)² + y²)
• d2 = расстояние от P до F2 = √((x - c)² + y²)

Согласно определению эллипса, сумма этих расстояний постоянна и равна 2a, где a - большая полуось эллипса. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

d1 + d2 = 2a

Теперь подставим выражения для d1 и d2:

√((x + c)² + y²) + √((x - c)² + y²) = 2a

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны в квадрат:

(√((x + c)² + y²) + √((x - c)² + y²))² = (2a)²

Раскроем левую часть:

(x + c)² + y² + (x - c)² + y² + 2√((x + c)² + y²)((x - c)² + y²) = 4a²

Теперь упростим выражение:

• (x + c)² + (x - c)² = 2x² + 2c²
• y² + y² = 2y²

Таким образом, у нас получится:

2x² + 2c² + 2y² + 2√((x + c)² + y²)((x - c)² + y²) = 4a²

Теперь из этого уравнения можно выразить корень и далее упростить его, но для общего уравнения эллипса нам нужно знать, что c² = a² - b², где b - малая полуось. В конечном итоге, уравнение эллипса в стандартной форме будет выглядеть так:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

Где:

• a - большая полуось
• b - малая полуось

Таким образом, мы получили уравнение эллипса, которое описывает его форму и свойства. Это уравнение помогает нам анализировать эллипс в различных задачах линейной алгебры и аналитической геометрии.