Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области Δ и непрерывна в ней всюду, кроме … числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл ∫∫ f(x, y)dΔ существует

Другие предметы Университет Двойные интегралы высшая математика двойной интеграл функции нескольких переменных замкнутая область непрерывные функции кусочно-гладкие линии интегралы в высшей математике Новый

Для того чтобы понять, существует ли двойной интеграл функции f(x, y) в замкнутой области Δ, необходимо рассмотреть несколько важных аспектов.

Определение двойного интеграла: Двойной интеграл функции f(x, y) по области Δ обозначается как ∫∫ f(x, y) dΔ и представляет собой сумму значений функции f(x, y), взятых на бесконечно малых участках области Δ.

Условия существования двойного интеграла: Существует несколько условий, при которых двойной интеграл может быть определен:

• Функция должна быть ограниченной на области интегрирования. Это означает, что значения функции не могут стремиться к бесконечности в пределах области Δ.
• Функция должна быть непрерывной на всей области Δ, за исключением, возможно, ограниченного числа точек или линий. В данном случае, функция f(x, y) непрерывна всюду, кроме численного количества кусочно-гладких линий.

Теперь давайте рассмотрим, почему наличие кусочно-гладких линий не мешает существованию двойного интеграла:

1. Кусочно-гладкие линии являются множеством нулевой меры. Это означает, что они не влияют на "размер" области Δ в смысле интегрирования.
2. Если функция ограничена и непрерывна на области, за исключением этих линий, то интеграл по области Δ может быть определен, так как "плохие" точки (линии) не влияют на общий результат интегрирования.

Таким образом, если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области Δ и непрерывна в ней, кроме, возможно, ограниченного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл ∫∫ f(x, y) dΔ действительно существует.