Формула Маклорена для y=sin x с остаточным членом в форме Пеано.

Другие предметы Университет Разложение в ряд Тейлора и формулы Маклорена формула Маклорена y=sin x остаточный член форма Пеано математический анализ университет ряд Тейлора приближение функции пределы производные Новый

Формула Маклорена для функции y = sin(x) позволяет нам разложить эту функцию в ряд, который будет приближать значение синуса в окрестности точки x = 0. Давайте разберем, как мы можем получить это разложение, а также как выглядит остаточный член в форме Пеано.

Шаг 1: Находим производные функции

Сначала найдем несколько производных функции sin(x) в точке x = 0:

• f(x) = sin(x) → f(0) = sin(0) = 0
• f'(x) = cos(x) → f'(0) = cos(0) = 1
• f''(x) = -sin(x) → f''(0) = -sin(0) = 0
• f'''(x) = -cos(x) → f'''(0) = -cos(0) = -1
• f''''(x) = sin(x) → f''''(0) = sin(0) = 0
• f'''''(x) = cos(x) → f'''''(0) = cos(0) = 1

Мы видим, что производные функции sin(x) чередуются и имеют период 4.

Шаг 2: Пишем ряд Тейлора (или Маклорена)

Формула Маклорена для функции f(x) имеет вид:

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + f''''(0)x⁴/4! + ...

Подставляя значения производных, мы получаем:

sin(x) = 0 + 1*x + 0*x²/2! - 1*x³/3! + 0*x⁴/4! + 1*x⁵/5! - ...

Таким образом, формула Маклорена для синуса будет выглядеть так:

sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...

Шаг 3: Остаточный член в форме Пеано

Остаточный член Rn(x) в форме Пеано для разложения Тейлора можно записать как:

Rn(x) = o(xⁿ), где o(xⁿ) означает, что остаток стремится к нулю быстрее, чем xⁿ, когда x стремится к 0.

Для функции sin(x) остаточный член будет выглядеть следующим образом:

Rn(x) = o(x⁷)

Это означает, что остаточный член, который мы не учли в разложении, убывает быстрее, чем x⁷ при стремлении x к 0.

Итак, окончательный ответ:

Формула Маклорена для функции sin(x) с остаточным членом в форме Пеано выглядит так:

sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - ... + o(x⁷)