Ваша задача заключается в том, чтобы понять, что означает ограниченность функции f(x, y, ...) в замкнутой ограниченной области D. Давайте разберем это понятие подробнее.

Определение ограниченности функции:

Функция f(x, y, ...) называется ограниченной на области D, если существует такое положительное число K, что для всех (x, y, ...) из области D выполняется следующее неравенство:

|f(x, y, ...)| ≤ K

Это означает, что значения функции f(x, y, ...) не превышают некоторой фиксированной величины K в пределах области D. Теперь разберем, как это можно понять и проверить.

Шаги для проверки ограниченности функции:

1. Определите область D: Убедитесь, что вы знаете, что представляет собой область D. Это может быть круг, квадрат или любая другая замкнутая и ограниченная фигура в пространстве.
2. Проверьте непрерывность функции: Убедитесь, что функция f(x, y, ...) непрерывна в области D. Непрерывность важна, так как она гарантирует, что функция не имеет разрывов, скачков или других аномалий.
3. Найдите максимальное значение функции: Исследуйте функцию f(x, y, ...) на области D и найдите ее максимальное значение. Это можно сделать с помощью производных, если функция дифференцируема.
4. Определите число K: После нахождения максимального значения функции в области D, установите K равным этому максимальному значению. Таким образом, вы получите, что |f(x, y, ...)| ≤ K для всех (x, y, ...) из D.

Пример:

Предположим, что у вас есть функция f(x, y) = x^2 + y^2, и область D - это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В этом случае:

• Область D: x^2 + y^2 ≤ 1.
• Максимальное значение функции f(x, y) в этой области будет равно 1, когда x и y равны 1 или -1.
• Следовательно, K = 1, и мы можем сказать, что |f(x, y)| ≤ 1 для всех (x, y) в D.

Таким образом, функция f(x, y) ограничена в области D.

Если у вас есть дополнительные вопросы или примеры, которые вы хотели бы обсудить, не стесняйтесь спрашивать!