Функция нескольких переменных является дифференцируемой, если выполняется несколько условий. Давайте рассмотрим их подробнее:

• Существует полный дифференциал функции: Это означает, что можно выразить приращение функции через частные производные и приращения переменных. Полный дифференциал функции f(x, y) может быть записан как:
• df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
• Функция непрерывна по одному аргументу: Это условие подразумевает, что функция ведет себя "хорошо" в окрестности точки, в которой мы рассматриваем дифференцируемость. Непрерывность функции по одному из аргументов является необходимым, но не достаточным условием для дифференцируемости.
• Существует полное приращение функции: Полное приращение функции должно быть представимо в виде суммы линейной части и остатка, который стремится к нулю быстрее, чем приращения переменных. Это означает, что:
• f(x + dx, y + dy) = f(x, y) + df + o(√(dx² + dy²))

Таким образом, для функции нескольких переменных, чтобы она была дифференцируемой, необходимо, чтобы выполнялись все эти условия. Это обеспечивает возможность аппроксимации функции линейной функцией в окрестности точки.