Похожие вопросы
2025-08-04 03:51:12
Выберите верные утверждения:
- Если у функции z(x, у) существует хотя бы одна частная производная в точке М, то функция z(x, у) непрерывна в этой точке.
- Пусть функция z=f(x, у) имеет в окресности точки М(x, у) частные производные и эти частные производные непрерывны в точке М (как функции нескольких переменных). Тогда функция z=f(x, у) дифференцируема в точке М.
- Функция нескольких переменных является гладкой на области V, если у неё существует хотя бы одна частная производная непрерывная на этой области
- Если функция заданная на множестве Х дифференцируема в некоторой внутренней точке этого множества, то она в этой точке непрерывна
Другие предметы Университет Дифференцируемость функций нескольких переменных линейная алгебра аналитическая геометрия частные производные непрерывность функции дифференцируемость функции нескольких переменных гладкость функции математический анализ университетская математика теория функций
2025-08-04 03:51:28
Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности и определим, какие из них являются верными.
-
Если у функции z(x, y) существует хотя бы одна частная производная в точке M, то функция z(x, y) непрерывна в этой точке.
Это утверждение неверно. Наличие хотя бы одной частной производной не гарантирует непрерывность функции. Примером может служить функция, которая имеет частные производные в точке, но сама функция не является непрерывной в этой точке.
-
Пусть функция z=f(x, y) имеет в окрестности точки M(x, y) частные производные и эти частные производные непрерывны в точке M (как функции нескольких переменных). Тогда функция z=f(x, y) дифференцируема в точке M.
Это утверждение верно. Если частные производные функции непрерывны в некоторой окрестности точки, то функция дифференцируема в этой точке, что является следствием теоремы о дифференцируемости.
-
Функция нескольких переменных является гладкой на области V, если у неё существует хотя бы одна частная производная непрерывная на этой области.
Это утверждение неверно. Гладкость функции подразумевает существование и непрерывность всех частных производных в данной области, а не только одной.
-
Если функция, заданная на множестве X, дифференцируема в некоторой внутренней точке этого множества, то она в этой точке непрерывна.
Это утверждение верно. Дифференцируемость функции в точке подразумевает её непрерывность в этой точке, так как дифференцируемая функция всегда является непрерывной.
Таким образом, верные утверждения: второе и четвертое.