Каноническое уравнение параболоида имеет вид:

z = x²/a² + y²/b²

где a и b - положительные константы, определяющие форму параболоида. Для начала давайте рассмотрим, как исследовать форму поверхности параболоида методом сечения.

Сечения параболоида можно получить, подставляя различные значения для z. Это позволяет нам увидеть, как выглядит сечение параболоида в зависимости от выбранного уровня z.

Рассмотрим несколько случаев:

1. Сечение при z = 0:
• Подставляем z = 0 в уравнение параболоида:
• 0 = x²/a² + y²/b².
• Это уравнение имеет единственное решение: x = 0 и y = 0. Таким образом, сечение в этой плоскости представляет собой точку (0, 0, 0).
2. Сечение при z = c (где c > 0):
• Подставляем z = c в уравнение параболоида:
• c = x²/a² + y²/b².
• Это уравнение описывает эллипс, так как x²/a² + y²/b² = c имеет форму эллипса в плоскости xy.
• При этом, если c > 0, то радиусы эллипса будут зависеть от значений a и b.
3. Сечение при z = -c (где c > 0):
• Подставляем z = -c в уравнение параболоида:
• -c = x²/a² + y²/b².
• Это уравнение не имеет решений, так как сумма квадратов всегда неотрицательна, а -c < 0. Таким образом, в этой плоскости сечения не существует.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что:

• При z = 0 мы получаем точку в начале координат.
• При положительных значениях z мы получаем эллипсы, которые увеличиваются по мере увеличения z.
• При отрицательных значениях z сечения не существует.

Это исследование показывает, что параболоид открывается вверх и имеет форму, напоминающую чашу, которая расширяется с увеличением z.