Найдите общее решение уравнения y = cos x

Другие предметы Университет Уравнения тригонометрических функций уравнение общее решение y = cos x математика университет Новый

Для нахождения общего решения уравнения y = cos x, давайте рассмотрим, что это уравнение описывает. Мы ищем все значения x, при которых значение функции cos x равно y.

1. Определение функции косинуса: Функция косинуса является периодической функцией с периодом 2π. Это означает, что значения функции будут повторяться через каждые 2π радиан.

2. Нахождение корней: Для того чтобы найти все значения x, при которых cos x = y, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций. Если y = cos x, то:

• Для y = 1, решение: x = 2nπ, где n - целое число.
• Для y = -1, решение: x = (2n + 1)π, где n - целое число.
• Для значений y в диапазоне (-1, 1), у нас будет два решения в пределах одного периода (0, 2π):
• x₁ = arccos(y)
• x₂ = 2π - arccos(y)
• Однако, учитывая периодичность косинуса, мы можем записать общее решение для этих значений как:
• x = arccos(y) + 2nπ
• x = 2π - arccos(y) + 2nπ

3. Объединение решений: Таким образом, общее решение уравнения y = cos x можно записать в следующем виде:

• Если y = 1, то x = 2nπ, n ∈ Z.
• Если y = -1, то x = (2n + 1)π, n ∈ Z.
• Если -1 < y < 1, то:
• x = arccos(y) + 2nπ, n ∈ Z;
• x = 2π - arccos(y) + 2nπ, n ∈ Z.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения y = cos x для различных значений y.