Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6x – x^2, y = 0

Другие предметы Университет Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры математический анализ университет интегралы графики функций ограниченные области y = 6x – x^2 y = 0 вычисление площади методы интегрирования Новый

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой y = 6x - x^2 и осью абсцисс (y = 0), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривой с осью абсцисс.

   Для этого приравняем уравнение y = 6x - x^2 к нулю:

   6x - x^2 = 0

   Можно вынести x за скобки:

   x(6 - x) = 0

   Таким образом, у нас есть два решения:

   • x = 0
   • 6 - x = 0 → x = 6

   Точки пересечения: (0, 0) и (6, 0).

2. Найти площадь фигуры.

   Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс, можно найти, вычислив определенный интеграл от функции между найденными точками пересечения:

   Площадь S = ∫ от 0 до 6 (6x - x^2) dx

3. Вычислить интеграл.

   Сначала найдем первообразную функции 6x - x^2:

   ∫(6x - x^2) dx = 3x^2 - (1/3)x^3 + C

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   S = [3x^2 - (1/3)x^3] от 0 до 6

   Подставляем верхний предел (x = 6):

   S(6) = 3(6^2) - (1/3)(6^3) = 3(36) - (1/3)(216) = 108 - 72 = 36

   Теперь подставляем нижний предел (x = 0):

   S(0) = 3(0^2) - (1/3)(0^3) = 0

   Теперь находим площадь:

   S = S(6) - S(0) = 36 - 0 = 36

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6x - x^2 и y = 0, равна 36.