Чтобы найти точку перегиба кривой, необходимо определить, где вторая производная функции меняет знак. Давайте разберем шаги, которые необходимо выполнить.

1. Найдите первую производную функции.

   Функция задана как y = (1/3)x³ - x. Для нахождения первой производной воспользуемся правилами дифференцирования:

   • Производная от x³ равна 3x².
   • Производная от x равна 1.

   Таким образом, первая производная будет:

   y' = (1/3) * 3x² - 1 = x² - 1

2. Найдите вторую производную функции.

   Теперь нам нужно найти производную от y' = x² - 1:

   • Производная от x² равна 2x.
   • Производная от константы (1) равна 0.

   Таким образом, вторая производная будет:

   y'' = 2x

3. Найдите точку, где вторая производная меняет знак.

   Точка перегиба находится там, где вторая производная равна нулю и меняет знак:

   2x = 0

   Решив это уравнение, получаем:

   x = 0

4. Проверьте изменение знака второй производной.

   Проверим, как меняется знак второй производной в точке x = 0:

   • Для x < 0, например, x = -1: y'' = 2(-1) = -2 (отрицательное значение).
   • Для x > 0, например, x = 1: y'' = 2(1) = 2 (положительное значение).

   Поскольку знак второй производной меняется с отрицательного на положительное при переходе через x = 0, это подтверждает наличие точки перегиба.

5. Найдите координаты точки перегиба.

   Теперь, когда мы знаем, что точка перегиба находится при x = 0, найдем значение y в этой точке:

   y = (1/3)(0)³ - 0 = 0

   Таким образом, точка перегиба кривой имеет координаты (0, 0).

Таким образом, точка перегиба кривой y = (1/3)x³ - x находится в точке (0, 0).