Чтобы найти изображения функции f(t) = sh(2t) - sin(2t),мы можем воспользоваться свойствами гиперболических и тригонометрических функций. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

• Гиперболическая синусная функция: sh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2
• Синусная функция: sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)

Подставим 2t в гиперболическую и синусную функции:

• sh(2t) = (e^(2t) - e^(-2t)) / 2
• sin(2t) = (e^(2it) - e^(-2it)) / (2i)

Теперь мы можем записать f(t) в терминах экспоненциальных функций:

• f(t) = (e^(2t) - e^(-2t)) / 2 - (e^(2it) - e^(-2it)) / (2i)

Чтобы упростить выражение, мы можем привести обе части к общему знаменателю:

• f(t) = (i(e^(2t) - e^(-2t)) - (e^(2it) - e^(-2it))) / (2i)

Теперь мы можем объединить экспоненты и упростить выражение:

• f(t) = (ie^(2t) - ie^(-2t) - e^(2it) + e^(-2it)) / (2i)

Теперь, чтобы понять, как функция ведет себя, мы можем проанализировать ее поведение при различных значениях t:

• При t = 0: f(0) = sh(0) - sin(0) = 0 - 0 = 0
• При t = π/4: f(π/4) = sh(π/2) - sin(π/2) = (e^(π/2) - e^(-π/2)) / 2 - 1
• При t = -π/4: f(-π/4) = sh(-π/2) - sin(-π/2) = -(e^(π/2) - e^(-π/2)) / 2 + 1

Таким образом, мы нашли изображение функции f(t) = sh(2t) - sin(2t) в терминах экспоненциальных функций, а также проанализировали ее поведение при различных значениях t. Эта функция будет иметь периодические колебания, связанные с синусом, и экспоненциальный рост, связанный с гиперболическим синусом.