Для нахождения изображения функции f(t) = t/2 * ch(t) - 1/2 * sh(t) мы можем использовать метод параметрического представления и анализировать поведение функции в зависимости от значения параметра t.

Давайте разберем функцию по частям:

• ch(t) - это гиперболический косинус, который определяется как ch(t) = (e^t + e^(-t)) / 2.
• sh(t) - это гиперболический синус, который определяется как sh(t) = (e^t - e^(-t)) / 2.

Теперь подставим эти определения в нашу функцию:

1. Сначала вычислим ch(t) и sh(t):
2. ch(t) = (e^t + e^(-t)) / 2
3. sh(t) = (e^t - e^(-t)) / 2
4. Теперь подставим эти выражения в f(t):

f(t) = t/2 * ((e^t + e^(-t)) / 2) - 1/2 * ((e^t - e^(-t)) / 2).

Упростим это выражение:

• f(t) = (t * (e^t + e^(-t))) / 4 - (e^t - e^(-t)) / 4.
• f(t) = (t * e^t + t * e^(-t) - e^t + e^(-t)) / 4.

Теперь мы можем выделить общие члены:

f(t) = (t * e^t - e^t + t * e^(-t) + e^(-t)) / 4.

Теперь давайте проанализируем, как ведет себя эта функция при различных значениях t:

• При t = 0: f(0) = 0/2 * ch(0) - 1/2 * sh(0) = 0 - 0 = 0.
• При t → ∞: e^t доминирует, и f(t) стремится к бесконечности.
• При t → -∞: e^(-t) доминирует, и f(t) также стремится к бесконечности.

Таким образом, мы видим, что функция f(t) имеет значение 0 при t = 0 и стремится к бесконечности при t, стремящемся к ±∞.

Теперь мы можем сказать, что изображение функции f(t) охватывает все значения от 0 до бесконечности.

Итак, изображение функции f(t) = t/2 * ch(t) - 1/2 * sh(t) - это интервал [0, +∞).