Чтобы найти изображения функции f(t) = t^2 * ch(t),где ch(t) - это гиперболический косинус, мы можем использовать несколько подходов. Однако, в данном случае, давайте воспользуемся методом анализа функции и определения её свойств.

Шаг 1: Определение функции

• Функция f(t) = t^2 * ch(t),где ch(t) = (e^t + e^(-t)) / 2.
• Таким образом, f(t) = t^2 * (e^t + e^(-t)) / 2.

Шаг 2: Анализ поведения функции

• Мы можем проанализировать поведение функции f(t) при различных значениях t.
• Для t = 0: f(0) = 0^2 * ch(0) = 0.
• Для t > 0: f(t) будет положительной, так как t^2 > 0 и ch(t) > 0.
• Для t < 0: f(t) также будет положительной, так как t^2 > 0 и ch(t) > 0.

Шаг 3: Найти производную

• Для более глубокого анализа, давайте найдем производную функции f(t).
• Используя правило произведения, получаем:
• f'(t) = 2t * ch(t) + t^2 * sh(t),где sh(t) - гиперболический синус.

Шаг 4: Определение критических точек

• Мы можем найти критические точки, приравняв производную к нулю:
• 0 = 2t * ch(t) + t^2 * sh(t).
• Эта уравнение может быть решено для t, чтобы найти точки, в которых функция может достигать максимумов или минимумов.

Шаг 5: Определение изображений

• Мы видим, что f(t) = 0 при t = 0.
• При t > 0 и t < 0 функция возрастает, так как оба компонента (t^2 и ch(t)) положительны.
• Таким образом, f(t) будет иметь минимум в точке t = 0 и будет стремиться к бесконечности при t стремящемся к бесконечности.

Итог:

• Изображение функции f(t) = t^2 * ch(t) будет равно [0, +∞).

Таким образом, мы пришли к выводу, что изображения функции f(t) начинаются с нуля и стремятся к бесконечности.