Похожие вопросы
2025-07-29 06:30:39
Найти оригинал, самостоятельно выбрав метод: F(p)=p/(p2+1)2
Другие предметы Университет Интегралы комплексного переменного Теория функций комплексного переменного ТФКП университет оригинал метод F(p)=p/(p²+1)² комплексный анализ функции комплексного переменного математический анализ высшая математика
2025-07-29 06:31:06
Для того чтобы найти оригинал функции F(p) = p / (p^2 + 1)^2, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям или методом подстановки. В данном случае мы попробуем использовать метод подстановки, так как он может оказаться более простым.
Шаг 1: Подстановка
Для начала мы заметим, что в знаменателе у нас есть выражение (p^2 + 1). Это может подсказать нам, что мы можем использовать подстановку, связанную с производной этого выражения. Мы можем взять:
- u = p^2 + 1
- Тогда du/dp = 2p, что означает, что du = 2p dp, или dp = du / (2p).
Шаг 2: Замена переменных
Теперь мы можем выразить p из нашей подстановки:
- p = sqrt(u - 1) (выбираем положительный корень для упрощения, хотя это может быть и отрицательный корень в других случаях).
Подставляя в исходную функцию, получаем:
- F(p) = p / (p^2 + 1)^2 = sqrt(u - 1) / u^2.
Теперь, подставляя du = 2p dp, мы получаем:
- dp = du / (2 * sqrt(u - 1)).
Таким образом, интеграл F(p) dp можно переписать в терминах u:
- ∫ F(p) dp = ∫ (sqrt(u - 1) / u^2) * (du / (2 * sqrt(u - 1))) = (1/2) ∫ (1 / u^2) du.
Шаг 3: Интегрирование
Теперь давайте проинтегрируем:
- (1/2) ∫ (1 / u^2) du = (1/2) * (-1/u) + C = -1/(2u) + C.
Шаг 4: Возвращение к переменной p
Теперь мы подставим обратно u = p^2 + 1:
- Оригинал функции F(p) будет равен: -1/(2(p^2 + 1)) + C.
Ответ: Оригинал функции F(p) = p / (p^2 + 1)^2 равен -1/(2(p^2 + 1)) + C, где C - произвольная константа интегрирования.