В данном вопросе мы рассматриваем правильное построение предложений с деепричастными оборотами. Давайте разберем каждый из приведенных примеров и выделим ключевые моменты, которые помогут понять, как правильно использовать деепричастные обороты в предложениях.

1. Посетив выставку, нам запомнились картины Айвазовского.

   В этом предложении деепричастный оборот "посетив выставку" указывает на действие, предшествующее основному действию - "нам запомнились картины". Однако здесь есть ошибка: деепричастный оборот не согласуется с подлежащим. Правильно будет: "Посетив выставку, мы запомнили картины Айвазовского."

2. Мне стало грустно, рассматривая потрёпанные страницы альбома с давно забытыми фотографиями.

   В этом предложении деепричастный оборот "рассматривая потрёпанные страницы" также указывает на действие, которое происходит одновременно с основным действием - "мне стало грустно". Здесь всё в порядке, так как подлежащее не меняется.

3. Осмотревшись вокруг, нам показалось, что место знакомое.

   Здесь также наблюдается ошибка. Деепричастный оборот "осмотревшись вокруг" не согласуется с подлежащим "нам". Правильный вариант: "Осмотревшись вокруг, мы поняли, что место знакомое."

4. Он проявил мужество, не испугавшись перед лицом опасности.

   В этом предложении деепричастный оборот "не испугавшись перед лицом опасности" правильно указывает на обстоятельства, при которых произошло основное действие "он проявил мужество". Здесь всё также корректно.

Таким образом, при использовании деепричастных оборотов важно следить за согласованием подлежащего и деепричастного оборота. Деепричастие должно относиться к тому субъекту, который выполняет действие, описанное в деепричастном обороте. Если это условие не выполняется, предложение становится некорректным с точки зрения русского языка.