О замене переменных в двойном интеграле.

Другие предметы Университет Замена переменных в интегралах замена переменных двойной интеграл математический анализ университет интегралы в математике методы интегрирования теория интегралов учебник по математическому анализу Новый

Замена переменных в двойном интеграле – это важный инструмент в математическом анализе, который позволяет упростить вычисления интегралов или преобразовать их в более удобные для решения формы. Давайте рассмотрим, как это делается.

Шаги для замены переменных в двойном интеграле:

1. Определение области интегрирования:
   • Сначала необходимо четко определить область интегрирования в исходных переменных. Это поможет понять, как будет выглядеть новая область после замены переменных.
2. Выбор новых переменных:
   • Выберите новые переменные, которые будут заменять старые. Обычно это делается через непрерывные и дифференцируемые функции. Например, можно использовать преобразование из координат (x, y) в (u, v).
3. Вычисление якобиана:
   • Якобиан – это детерминант матрицы частных производных, который показывает, как изменяется площадь при переходе к новым переменным. Для двух переменных он выглядит так:
   • J = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |∂x/∂u ∂x/∂v; ∂y/∂u ∂y/∂v|.
   • Вычислите якобиан для выбранных вами функций замены.
4. Запись нового интеграла:
   • Теперь вы можете записать двойной интеграл в новых переменных. Формула будет выглядеть так:
   • ∬_D f(x,y) dx dy = ∬_D' f(g(u,v), h(u,v)) |J| du dv,
   • где D' – новая область интегрирования, а g и h – функции замены.
5. Определение новой области интегрирования:
   • Не забудьте определить новую область D' в терминах новых переменных (u, v). Это может требовать дополнительных преобразований.
6. Вычисление интеграла:
   • Теперь вы можете вычислить интеграл в новых переменных, используя стандартные методы интегрирования.

Пример:

Рассмотрим интеграл ∬_D (x^2 + y^2) dx dy, где D – круг радиуса R. Мы можем использовать полярные координаты, где x = r*cos(θ), y = r*sin(θ). В этом случае якобиан будет равен r. После замены переменных интеграл преобразуется, и его легче вычислить.

Таким образом, замена переменных в двойном интеграле позволяет упростить задачу и сделать интегрирование более эффективным. Не забывайте о важности якобиана и определения новой области интегрирования!