Замена переменных в двойных и тройных интегралах

Замена переменных в интегралах — это важный инструмент, который позволяет упростить вычисление интегралов, переводя их в более удобные координаты. Существует несколько типов систем координат, которые мы будем рассматривать: прямоугольные (ПСК), цилиндрические (ЦСК) и сферические (ССК).

Формулировка теоремы о замене переменных

Для двойного интеграла в области D, если мы применяем замену переменных x = g(u, v) и y = h(u, v), то двойной интеграл преобразуется следующим образом:

1. Пусть (u, v) — новые переменные, и (x, y) — старые переменные.
2. Определим якобиан J = |∂(x, y)/∂(u, v)|, который равен детерминанту матрицы частных производных.
3. Тогда двойной интеграл преобразуется по формуле:
4. ∫∫_D f(x, y) dx dy = ∫∫_D' f(g(u, v), h(u, v)) |J| du dv,

где D' — область в новых переменных (u, v).

Для тройного интеграла в области V, если мы применяем замену переменных x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w), то тройной интеграл преобразуется аналогично:

1. Определим якобиан J = |∂(x, y, z)/∂(u, v, w)|.
2. Тогда тройной интеграл преобразуется по формуле:
3. ∫∫∫_V f(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫_V' f(g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)) |J| du dv dw,

где V' — область в новых переменных (u, v, w).

Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат (ПСК)

Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла:

∫∫_D (x^2 + y^2) dx dy, где D — прямоугольник с вершинами (0, 0), (a, 0), (a, b), (0, b).

1. Записываем пределы интегрирования:
2. ∫_0^b ∫_0^a (x^2 + y^2) dx dy.
3. Сначала вычисляем внутренний интеграл:
4. ∫_0^a (x^2 + y^2) dx = [ (1/3)x^3 + y^2x ]_0^a = (1/3)a^3 + y^2a.
5. Теперь подставим результат во внешний интеграл:
6. ∫_0^b [(1/3)a^3 + y^2a] dy = (1/3)a^3b + (1/3)ab^3.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат (ЦСК)

Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла:

∫∫∫_V (r^2) r dz dr dθ, где V — цилиндр с радиусом R и высотой H.

1. Записываем пределы интегрирования:
2. 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ z ≤ H.
3. Тройной интеграл принимает вид:
4. ∫_0^H ∫_0^R ∫_0^{2π} (r^2) r dz dr dθ.
5. Сначала вычисляем интеграл по z:
6. ∫_0^H dz = H.
7. Теперь подставим результат в интеграл:
8. H ∫_0^R r^3 dr ∫_0^{2π} dθ = H ∫_0^R r^3 dr (2π) = 2πH [ (1/4)r^4 ]_0^R = (1/2)πHR^4.

Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат (ССК)

Рассмотрим интеграл:

∫∫∫_V (ρ^2 sinφ) ρ^2 sinφ dρ dφ dθ, где V — сфера радиуса R.

1. Записываем пределы интегрирования:
2. 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ R.
3. Тройной интеграл принимает вид:
4. ∫_0^{2π} dθ ∫_0^π sinφ dφ ∫_0^R ρ^4 dρ.
5. Сначала вычисляем интеграл по ρ:
6. ∫_0^R ρ^4 dρ = (1/5)R^5.
7. Теперь подставим результат в интеграл:
8. ∫_0^{2π} dθ ∫_0^π sinφ dφ (1/5)R^5 = (1/5)R^5 (2π) [-cosφ]_0^π = (1/5)R^5 (2π) (2) = (4/5)πR^5.

Таким образом, мы рассмотрели теоремы о замене переменных в двойных и тройных интегралах, а также примеры вычисления интегралов в различных системах координат.