Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y'' - 2y' - 3y = e^4x, мы должны выполнить несколько шагов:

1. Найти общее решение однородного уравнения:

   Сначала решим однородное уравнение y'' - 2y' - 3y = 0. Для этого найдем характеристическое уравнение:

   • Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: r² - 2r - 3 = 0.
   • Решаем это квадратное уравнение: (r - 3)(r + 1) = 0.
   • Корни характеристического уравнения: r₁ = 3 и r₂ = -1.

   Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

   y_h(x) = C₁e^3x + C₂e^-x,

   где C₁ и C₂ - произвольные константы.

2. Найти частное решение неоднородного уравнения:

   Теперь найдем частное решение уравнения y'' - 2y' - 3y = e^4x. Поскольку правая часть уравнения имеет вид e^4x, мы предположим частное решение в виде y_p(x) = Ae^4x, где A - неизвестная константа.

   Найдем производные y_p(x):

   • y_p'(x) = 4Ae^4x
   • y_p''(x) = 16Ae^4x

   Подставим y_p(x), y_p'(x), и y_p''(x) в уравнение:

   (16Ae^4x) - 2(4Ae^4x) - 3(Ae^4x) = e^4x

   Упростим выражение:

   (16A - 8A - 3A)e^4x = e^4x

   (5A)e^4x = e^4x

   Следовательно, 5A = 1, откуда A = 0.2.

   Частное решение будет:

   y_p(x) = 0.2e^4x.

3. Записать общее решение неоднородного уравнения:

   Общее решение уравнения y'' - 2y' - 3y = e^4x будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

   y(x) = y_h(x) + y_p(x).

   Таким образом, общее решение будет:

   y(x) = C₁e^3x + C₂e^-x + 0.2e^4x.