Похожие вопросы
2025-03-18 05:49:19
Общий интеграл уравнения eydx+ (хеу + 1)dy О есть:
- хеу = C
- хеу = -y
- хеу + у = С
Другие предметы Университет Общая теория дифференциальных уравнений общий интеграл уравнение математика университет решение интеграла Дифференциальные уравнения математический анализ высшая математика
2025-07-21 00:23:22
Чтобы найти общий интеграл данного дифференциального уравнения, начнем с анализа его структуры. Уравнение имеет вид:
- ey dx + (xey + 1) dy = 0
Это уравнение можно представить в форме:
- M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
где M(x, y) = ey и N(x, y) = xey + 1.
Теперь проверим, является ли это уравнение точным, т.е. выполняется ли условие точности:
- ∂M/∂y = ∂N/∂x
Вычислим частные производные:
- ∂M/∂y = ∂(ey)/∂y = ey
- ∂N/∂x = ∂(xey + 1)/∂x = ey
Поскольку ∂M/∂y = ∂N/∂x, уравнение является точным.
Теперь найдем общий интеграл уравнения. Для этого интегрируем M(x, y) по x и N(x, y) по y:
- Интегрируем M(x, y) = ey по x:
- ∫ ey dx = xey + φ(y), где φ(y) — произвольная функция от y.
- Интегрируем N(x, y) = xey + 1 по y и сравниваем с первым интегралом:
- ∫ (xey + 1) dy = xey + y + ψ(x), где ψ(x) — произвольная функция от x.
Поскольку у нас уже есть xey из интегрирования M(x, y), дополнительный член y должен быть учтен в φ(y). Таким образом, общий интеграл будет:
- xey + y = C, где C — произвольная константа.
Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения:
- xey + y = C
