Общий член последовательности 1 / (1 ⋅ 3), 2 / (3 ⋅ 5), 3 / (5 ⋅ 7), 4 / (7 ⋅ 9), … имеет вид …

• 1) aₙ = 3n / ((3n − 1)(2n + 1))
• 2) aₙ = n / (2n + 1)
• 3) aₙ = n / ((2n − 1)(2n + 1))

Другие предметы Университет Последовательности и ряды высшая математика общий член последовательности университет математический анализ последовательности и ряды формулы высшей математики учебные материалы решение задач математические выражения подготовка к экзаменам Новый

Чтобы определить общий член данной последовательности, давайте внимательно проанализируем ее элементы:

• Первый элемент: 1 / (1 ⋅ 3)
• Второй элемент: 2 / (3 ⋅ 5)
• Третий элемент: 3 / (5 ⋅ 7)
• Четвертый элемент: 4 / (7 ⋅ 9)

Теперь заметим структуру числителя и знаменателя:

• Числитель: он равен порядковому номеру элемента последовательности, то есть для n-го элемента числитель равен n.
• Знаменатель: давайте разберем его подробнее. Мы видим, что знаменатель состоит из двух множителей:
• Первый множитель: для n=1 это 1, для n=2 это 3, для n=3 это 5, для n=4 это 7. Это последовательность нечетных чисел, которая может быть выражена как (2n - 1) для n = 1, 2, 3, 4, ...
• Второй множитель: для n=1 это 3, для n=2 это 5, для n=3 это 7, для n=4 это 9. Это также последовательность нечетных чисел, но начиная с 3, которая может быть выражена как (2n + 1).

Таким образом, знаменатель для n-го элемента будет равен (2n - 1)(2n + 1).

Теперь мы можем записать общий член последовательности:

aₙ = n / ((2n - 1)(2n + 1))

Теперь давайте проверим, соответствует ли это нашему варианту из предложенных:

• 1) aₙ = 3n / ((3n − 1)(2n + 1)) - не подходит
• 2) aₙ = n / (2n + 1) - не подходит
• 3) aₙ = n / ((2n − 1)(2n + 1)) - это правильно!

Таким образом, правильный ответ: 3) aₙ = n / ((2n − 1)(2n + 1)).