Определение базиса V1, V2, V3. Доказательство единственности разложения векторов в базисе V2. Линейные операции над векторами, заданными в одном и том же базисе.
​​

Другие предметы Университет Базисы векторных пространств линейная алгебра аналитическая геометрия базис векторов разложение векторов линейные операции доказательство единственности векторы в базисе университетский курс математические понятия векторные пространства Новый

Определение базиса V1, V2, V3

В линейной алгебре базисом векторного пространства называется набор векторов, который удовлетворяет двум основным условиям:

• Векторы являются линейно независимыми.
• Векторы образуют полное пространство, то есть любой вектор из этого пространства может быть представлен как линейная комбинация векторов базиса.

Рассмотрим три базиса V1, V2 и V3:

• Базис V1: Пусть это будет набор векторов {v1, v2, v3}, где v1, v2 и v3 линейно независимы и образуют пространство R^3.
• Базис V2: Предположим, что это другой набор векторов {u1, u2, u3}, также линейно независимый и образующий R^3.
• Базис V3: Это может быть еще один набор векторов {w1, w2, w3}, который также линейно независим и образует R^3.

Доказательство единственности разложения векторов в базисе V2

Пусть у нас есть вектор v из пространства, и мы хотим разложить его в базисе V2:

v = a1 * u1 + a2 * u2 + a3 * u3, где a1, a2 и a3 - скаляры.

Теперь предположим, что существует другое разложение этого вектора:

v = b1 * u1 + b2 * u2 + b3 * u3, где b1, b2 и b3 - также скаляры.

Если мы вычтем одно равенство из другого, получим:

0 = (a1 - b1) * u1 + (a2 - b2) * u2 + (a3 - b3) * u3.

Поскольку векторы u1, u2 и u3 линейно независимы, это возможно только в случае, если все коэффициенты равны нулю:

• a1 - b1 = 0
• a2 - b2 = 0
• a3 - b3 = 0

Таким образом, мы получаем, что a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3, что доказывает единственность разложения векторов в базисе V2.

Линейные операции над векторами, заданными в одном и том же базисе

Когда векторы заданы в одном и том же базисе, мы можем выполнять различные линейные операции, такие как:

• Сложение векторов: Если v1 = a1 * u1 + a2 * u2 + a3 * u3 и v2 = b1 * u1 + b2 * u2 + b3 * u3, то их сумма будет:

v1 + v2 = (a1 + b1) * u1 + (a2 + b2) * u2 + (a3 + b3) * u3.

• Умножение вектора на скаляр: Если v = a1 * u1 + a2 * u2 + a3 * u3 и k - скаляр, то:

k * v = (k * a1) * u1 + (k * a2) * u2 + (k * a3) * u3.

Эти операции позволяют нам легко манипулировать векторами в одном и том же базисе, сохраняя структуру векторного пространства.