Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Свойства смешанного произведения Вывод формулы смешанного произведения в ортонормированном базисе.

Другие предметы Университет Смешанное произведение векторов смешанное произведение векторов объем параллелепипеда объём пирамиды некомпланарные векторы свойства смешанного произведения формула смешанного произведения ортонормированный базис Новый

Определение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение трех векторов a, b и c в трехмерном пространстве определяется как скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других. Формально это записывается как:

[a, b, c] = a · (b × c)

Где "·" обозначает скалярное произведение, а "×" - векторное произведение. Смешанное произведение дает нам число, которое является объемом параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда, образованного векторами a, b и c, равен абсолютному значению смешанного произведения этих векторов:

V = |[a, b, c]|

Таким образом, если векторы a, b и c некомпланарны (то есть не лежат в одной плоскости), то объем параллелепипеда будет положительным и равным этому значению.

Объем пирамиды

Пирамида, основание которой образовано векторами a и b, а вершина находится в точке, определяемой вектором c, имеет объем, который равен одной трети объема параллелепипеда:

V_пирамида = (1/3) * |[a, b, c]|

Свойства смешанного произведения

• Антисимметричность: [a, b, c] = -[b, a, c] = -[a, c, b] = -[c, b, a]
• Линейность: Смешанное произведение линейно по каждому из своих аргументов. Например, [a + d, b, c] = [a, b, c] + [d, b, c].
• Коммутативность: Если два вектора равны, то смешанное произведение равно нулю: [a, a, c] = 0.

Вывод формулы смешанного произведения в ортонормированном базисе

Рассмотрим ортонормированный базис e1, e2, e3. Векторы a, b и c могут быть представлены как:

• a = a1 * e1 + a2 * e2 + a3 * e3
• b = b1 * e1 + b2 * e2 + b3 * e3
• c = c1 * e1 + c2 * e2 + c3 * e3

Теперь вычислим смешанное произведение:

1. Сначала найдем векторное произведение b и c:
2. Затем используем скалярное произведение с вектором a.

После выполнения этих операций мы получим формулу для смешанного произведения в виде определителя:

[a, b, c] = |a1 a2 a3|

|b1 b2 b3|

|c1 c2 c3|

Таким образом, смешанное произведение в ортонормированном базисе можно выразить через определитель матрицы, составленной из координат векторов a, b и c.