Смешанное произведение векторов

Другие предметы Университет Смешанное произведение векторов смешанное произведение векторов линейная алгебра аналитическая геометрия векторы свойства векторов геометрические интерпретации университетские курсы Новый

Смешанное произведение трех векторов в трехмерном пространстве — это важная концепция в линейной алгебре, которая позволяет определить объем параллелепипеда, образованного этими векторами. Давайте разберем, что такое смешанное произведение и как его вычислять.

Определение: Смешанное произведение трех векторов a, b и c, обозначаемое как [a, b, c], определяется как скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других. Формально это можно записать так:

[a, b, c] = a · (b × c)

где "·" — это скалярное произведение, а "×" — векторное произведение.

Шаги для вычисления смешанного произведения:

1. Вычислите векторное произведение: Сначала найдите векторное произведение векторов b и c. Если b = (b1, b2, b3) и c = (c1, c2, c3), то векторное произведение b × c будет равно:
• (b2 * c3 - b3 * c2, b3 * c1 - b1 * c3, b1 * c2 - b2 * c1)
2. Вычислите скалярное произведение: Теперь найдите скалярное произведение вектора a с результатом векторного произведения b × c. Если a = (a1, a2, a3), то скалярное произведение будет равно:
• a · (b × c) = a1 * (b2 * c3 - b3 * c2) + a2 * (b3 * c1 - b1 * c3) + a3 * (b1 * c2 - b2 * c1)
3. Получите результат: Значение, полученное на предыдущем шаге, и будет равно смешанному произведению [a, b, c]. Это число также равно объему параллелепипеда, образованного векторами a, b и c.

Пример:

Рассмотрим векторы a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6), c = (7, 8, 9).

1. Вычисляем векторное произведение b × c:
• (5 * 9 - 6 * 8, 6 * 7 - 4 * 9, 4 * 8 - 5 * 7) = (-3, -6, -3)
2. Теперь находим скалярное произведение a · (b × c):
• 1 * (-3) + 2 * (-6) + 3 * (-3) = -3 - 12 - 9 = -24
3. Таким образом, смешанное произведение [a, b, c] равно -24.

Это значение также указывает на то, что объем параллелепипеда, образованного этими векторами, равен 24 (по абсолютной величине).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, что такое смешанное произведение векторов и как его вычислять!