Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы
2x+5y=10
5x+2y=10

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем уравнений метод простой итерации линейная система вычислительные методы решение уравнений численные методы анализ сходимости математическое моделирование университетская программа Новый

Метод простой итерации – это один из численных методов, который используется для нахождения приближенных решений уравнений. В данном случае мы будем применять этот метод для решения линейной системы уравнений:

1. 2x + 5y = 10

2. 5x + 2y = 10

Для начала, преобразуем систему уравнений так, чтобы выразить одну переменную через другую. Это позволит нам использовать метод простой итерации.

Шаг 1: Преобразование уравнений

• Из первого уравнения выразим x:

2x = 10 - 5y => x = (10 - 5y) / 2

• Из второго уравнения выразим y:

5x + 2y = 10 => 2y = 10 - 5x => y = (10 - 5x) / 2

Теперь мы можем записать итерационные формулы:

• x(n+1) = (10 - 5y(n)) / 2
• y(n+1) = (10 - 5x(n)) / 2

Шаг 2: Выбор начальных значений

Для начала итераций выберем начальные значения для x и y. Например, пусть x(0) = 0 и y(0) = 0.

Шаг 3: Итерации

Теперь мы можем начать итерации:

1. Итерация 1:

x(1) = (10 - 5 * 0) / 2 = 5

y(1) = (10 - 5 * 0) / 2 = 5

2. Итерация 2:

x(2) = (10 - 5 * 5) / 2 = -7.5

y(2) = (10 - 5 * 5) / 2 = -7.5

3. Итерация 3:

x(3) = (10 - 5 * -7.5) / 2 = 46.25

y(3) = (10 - 5 * -7.5) / 2 = 46.25

Как видно, значения x и y начинают значительно колебаться и не сходятся к какому-либо конкретному решению. Это указывает на то, что метод простой итерации в данном случае не является устойчивым для данной системы уравнений.

Шаг 4: Анализ сходимости

Метод простой итерации будет сходиться, если матрица системы уравнений удовлетворяет условиям сходимости. В данном случае, поскольку значения сильно колеблются, можно сделать вывод, что метод не сходится.

Таким образом, можно заключить, что метод простой итерации для данной линейной системы уравнений не ведет себя хорошо, и для нахождения решения лучше использовать другие методы, такие как метод Гаусса или метод Жордана.